ĐỀ THI THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2009

A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH
Câu I (2 điểm) Cho hàm số

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Biện luận số nghiệm của phương trình
theo tham số m.
Câu II (2 điểm)
a) Giải phương trình

b) Giải phương trình

Câu III ( 2 điểm)
a) Tính tích phân

b) Cho hàm số
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
và chứng minh rằng
có đúng hai nghiệm.
Câu IV (2 điểm) Trong không gian
cho đường thẳng d:
và mặt phẳng

a) Tìm tọa độ giao điểm
của đường thẳng d với mặt phẳng
. Viết phương trình của đường thẳng
đi qua điểm
vuông góc với d và nằm trong
.
b) Viết phương trình mặt phẳng
chứa d sao cho khoảng cách từ điểm
tới
bằng
.
B. PHẦN DÀNH RIÊNG CHO TỪNG LOẠI THÍ SINH
Câu Va (2 điểm) Dành cho học sinh thi theo chương trình cơ bản
a) Trong mặt phẳng
cho
có
Các đường phân giác và trung tuyến xuất phát từ đỉnh
có phương trình lần lượt là
Viết phương trình ba cạnh của tam giác ABC.
b) Có bao nhiêu số hữu tỉ trong khai triển

Câu Vb (2 điểm) Dành cho học sinh thi theo chương trình nâng cao
a) Giải phương trình

b) Cho chóp tứ giác đều
có cạnh bên bằng a và mặt chéo
là tam giác đều. Qua
dựng mặt phẳng
vuông góc với
.Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng
và hình chóp.
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2009
Câu I
2 điểm


a)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số




Tập xác định: Hàm số có tập xác định

Sự biến thiên:
Ta có

0,25




0,25


Bảng biến thiên:



0 2





0
0





 2







0,25


Đồ thị: Học sinh tự vẽ hình
0,25

b)
Biện luận số nghiệm của phương trình
theo tham số m.



Ta có
Do đó số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của
và đường thẳng

0,25


Vì
nên
bao gồm:
+ Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng

+ Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng
qua Ox.
0,25


Học sinh tự vẽ hình
0,25


Dựa vào đồ thị ta có:
+
Phương trình vô nghiệm;
+
Phương trình có 2 nghiệm kép;
+
Phương trình có 4 nghiệm phân biệt;
+
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
0,25



0,25

Câu II
2 điểm


a)
Giải phương trình




Biến đổi phương trình về dạng

0,75


Do đó nghiệm của phương trình là


0,25

b)
Giải phương trình




Điều kiện:

Dễ thấy x = 1 là một nghiệm của pt đã cho
0,25


Với
. Đặt
và biến đổi phương trình về dạng


0,5


Giải ra ta được
Vậy pt có 3 nghiệm x =1;

0,25

Câu III



a)
Tính tích phân




Sử dụng công thức tích phân từng phần ta có

với

0,25


Để tính J ta đặt
Khi đó



0,5


Vậy

0,25

b)
Cho hàm số
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
và chứng minh rằng
có đúng hai nghiệm.




Ta có
Do đó

0,25


Hàm số
là hàm đồng biến; hàm số
là hàm nghịch biến vì
. Mặt khác
là nghiệm của phương trình
nên nó là nghiệm duy nhất.
0,25


Lập bảng biến thiên của hàm số
(học sinh tự làm) ta đi đến kết luận phương trình
có đúng hai nghiệm.
Từ bảng biến thiên ta có

0,5

Câu IV



a)
Tìm tọa độ giao điểm
của đường thẳng